圖片：五種柏拉圖立體(Platonic solid)。
作者：嚴融怡
在幾何學當中，凸正多面體，又稱為柏拉圖立體，是指各面都為全等正多邊形且每一個頂點所接的面數都是一樣的凸多面體，這類三維的正幾何形狀，符合此特性的立體在自然界當中總共只有5種。我們一般在中小學的課本當中所討論的正多面體(狹義的正多面體)通常也就是指只有這5種的凸正多面體，不過如果只討論每面全等、每個個角等角且每條邊等長的情況下，還有其他多種幾何結構存在，也被稱為正多面體(像是十六世紀之後克卜勒所在凸正多面體的基礎之下所繼續發展出來的『星狀』正多面體)。
柏拉圖立體在數學與物理等結構運算當中都具有相當簡潔的特點，然後也蘊藏很多有趣的特性。其中我覺得最有趣的是自然界病毒的衣殼有大半都採用了正二十面體的構造，這個構造在五種柏拉圖立體當中最接近球形，結構似乎也最為穩固，可承受較大的外部衝擊。正二十面體在阿基米德時期有一個很重要的轉折與衍生，那就是截角二十面體的誕生。阿基米德在窮究了很長一段時間發現仍然無法突破五種柏拉圖立體之後，後來乾脆去改變數理規則，然後自創出新的幾何結構，此後更一連串發展出十三種不同的多面體。值得注意的是截角二十面體後來真的有化學物質是這樣的構型，像是暱稱『巴克球』(buckyball)的『巴克明斯特·富勒烯』(buckminster fullerene，有時也被稱為碳60)。然後它也是目前正式編制的統一規格足球的造型。無論是正二十面體或是截角二十面體或許在自然界還隱藏著某些有趣的機制值得繼續研究。
圖片：克卜勒在1596年所曾構想的正多面體宇宙模型(其實我在大學時代曾一直覺得這樣的排列有一些些是為了克卜勒他心中的理想幾何性質而去拼湊出數理上的解答；但即便是這樣也相當厲害了)。
克卜勒在1596年所出版的書籍《宇宙的奧秘》(Mysterium Cosmographicum; The Secret of the World)曾運用五種正多面體，也就是著名的柏拉圖多面體(Platonic solid)結合球的內接和外切，試圖求出各類行星和太陽的距離關係。這個求解的過程我最早是在中興大學大三的時期從物理系廖思善老師的通識課程中獲知的。其中土星和木星之間是正方體(正六面體)，木星和火星之間是正四面體，火星和地球之間是正十二面體，地球和金星之間是正二十面體，金星和水星之間則是正八面體。每一個正面體外接於外面那個行星所在的天球，而內切於裡面那個行星所在的天球。克卜勒後來還發現了一個公式，將每個行星的軌道大小與其軌道周期的長度相關聯：從內行星到外行星，軌道周期增加的比率是球半徑差的兩倍。但是後來他放棄了那項公式，因為他發現了更為精確的行星之間的關係。
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參考資料：
1.柏拉圖立體 ─維基百科 https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9F%8F%E6%8B%89%E5%9C%96%E7%AB%8B%E9%AB%94
2.【大宇宙小故事】15 誰發明了足球 ─CASE報科學 https://case.ntu.edu.tw/blog/?p=27708
3.截角二十面體 ─維基百科 https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%88%AA%E8%A7%92%E4%BA%8C%E5%8D%81%E9%9D%A2%E9%AB%94
4.Mysterium Cosmographicum https://en.wikipedia.org/wiki/Mysterium_Cosmographicum
5.Paper Truncated Icosahedron (soccer ball or football) https://www.polyhedra.net/en/model.php?name-en=truncated-icosahedron
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